★Beat Angels

前途は遠かった。でもそれはどうでもいい。道こそが人生だからだ。 - Jack Kerouac

自然

アイの呪縛からの解放

物々しいタイトルですが数学の話です。不思議な数というとこの2つがいつも登場します。 円周率(π)と自然対数の底(e)です。少数点以下の数字は無限にどこまでも不規則に続くので無理数と呼ばれます。これら二つは現実、つまり自然界に列記として存在する…

積み木定理

直方体の積み木を積んで大きな直方体を作ります。いろいろな大きさや形の積み木があってもいいのですが一つだけ条件をつけます。それは小さな積み木の一つの辺の長さが整数であるというものです。それ以外の辺の長さは整数でなくてもどんな長さでもいいです…

星型多角形定理

次のような形をした多角形を星型多角形と呼ぶ。例に示すように星型多角形はすべて奇数角形である。それらの内角の和についてであるが、実は何角形であろうがどんな形であろうが、180°で一定である。 三角形を星型と呼ぶのには少し抵抗があるが、このよう…

球面上の多角形

三角形の内角の和は180°である。一般的にn角形においては(nー2)に180°を掛けたものになる。これは一般のn角形がn-2個の三角形に分割できることに対応する。 さて、これは平面上の話であるが、舞台を球面上に移したらどういうことになるだろうか…

日本の面積保存則

仮に地球全体が透明の海でできていてそこに大陸や島がプカプカと浮かんでいるとする。高さ方向は考えない。大陸や島は厚みがゼロのペラペラな黒い紙のようなものであるとする。地球上のあらゆる地点から透明な地球を介してその日本が見える。日本のちょうど…

回転による図形の重ね合わせ

以前、二つの合同な長方形が重なって置かれている時に、ある点を中心とした回転で二つをぴったりと重ねることができることを示した。その点を作図するのは非常に簡単で次の通りである。 ここで「重なって置かれている時」と言っている理由について少し説明が…

合同図形に関する法則

2つの合同図形A、Bがある。どんな形でも構わない。2つを平面上の任意の場所に置く。2つの図形の間の距離と傾きは任意とする。 この図のように対応する任意の2点を選ぶ。対応する2点とは二つの図形をぴったり重ねた時に同一の点になることを意味する。…

表面探査プロジェクト

ある男が見知らぬ惑星に不時着した。彼はその惑星の大きさを報告するように指示された。しかし、惑星の形はさっぱりわからない。上空から写真を撮ることもできない。彼にできることと言ったら地表を歩き回って惑星の表面を測定することだけである。彼は仕方…

安定滑走定理

◆はじめに ある曲線からなるレール上をある物体が重力だけで滑走するシステムを考える。代表的な例はジェットコースターであるが滑り台などもその一種と考えられる。ここで物体はレールに固定されずに単純に乗っているだけとする。物体が曲線上を動く中でレ…

シン・三角形の合同条件(その2)

3角形の合同には小学生でも気がつくある問題が潜んでいる。 それは反転している場合を合同としていいのか。ひっくり返さないといけないものを合同と言っていいのか、という問題である。 確かに3次元の場合の例で靴などを考えてみると左右反対に履くことは…

シン・三角形の合同条件

三角形の合同条件は算数の定番メニューである。たいてい次のように決められている。 三角形は3つの辺と3つの角から成り立っている。合計6個の変数があるということである。 これらを対等であると考えるとどうも合同となるためにはこの6個の中から最低で…

逆立ちゴマ

これは友人であるF君からもらったお土産である。 普通に軸を上にして回転させると次第に球形の方が上に持ち上がっていき最後は軸を下にして逆立ちして回転するようになる。いわゆる逆立ちゴマである。同じような挙動はゆで玉子でも見られる。丸い方を下にし…

パスカルの中のフィボナッチ

天空の船・ラピュタ(後篇)

前回示した日付変更線を切り込みを入れた世界地図を示した。 この地図上で右の端が地球上でもっとも時間が進んでいて、左端がちょうど24時間最も遅れている。全世界各地の時間はこの違いを保存したまま一日24時間のペースで時々刻々と変わっていく。このこと…

天空の船・ラピュタ(前篇)

世界地図を日付変更線の上で切れ目をいれてみた。日付変更線は実際はもっと折れ曲がっているがここでは簡略化している。 この線上を超えるとき、時計を一日分足したり、引いたりしないといけない。 この線の実像に迫るためにこんな実験をしてみる。A~D君の4…

ありえない机?

ネットでこんな写真を拾った。 一見、台の部分が空中浮遊しているように見えるが実はそうではなく、中央のL字の金具が鎖を介してきちんと持ち上げてくれている。この机が本当に安定なのか、耐震性は大丈夫なのかを考えてみる。まず、次のように座標系とパラ…

バイオンの原理

ギターの弦を弾いてポロンと鳴らす。弦の長さをlとして下図のように弦の座標を定め、弦を弾く位置をx=aとする。 音階を作ったのはピタゴラスだといわれている。 ダ・ビンチのフォースター手稿には彼の手による一弦琴の設計図面が記載されている。そこには「…

神田川数列(最終回)

問題をあらためてここに整理する。 mxnの格子に対して、1x2の畳を敷き詰める。畳は縦長、横長のいずれでも構わない。敷き詰めるすべての方法の数を求めることである。当然、m、nの両方が奇数の場合は、必ず1つあまりが出てしまうので、0となる。全…

神田川数列(その3)

性懲りもなく前回の続きである。縦方向を3から4にしてみたらどうなるだろうか。題意からは大きく外れるが。2列の基本形における敷き詰め方は、 この5通りである。次に横4列(=8畳)の場合はどうなるか。 すべてが横長、すべてが縦長の場合はそれぞれ1…

神田川数列(その2)

前回に引き続き3n畳間を畳で敷き詰める場合の数の話である。 nに対応した場合の数を としてその数列の一杯式を求める。全体を俯瞰しても答えが見つかりそうもないので、端からかいつまんで考えてみる。まずは、最後にきれいに2列分空いている場合である…

神田川数列(その1)

かぐや姫の名曲「神田川」 ~窓の下には神田川~♪、3畳一間の小さな下宿~♪あと数年もすれば、この曲が発表されてから半世紀になろうとしている。はたして3畳一間というアパートはまだ存在するのだろうか。若い二人は狭い部屋から始めても構わない。焦らず…

レンガを積み上げる問題(その2)

引き続き、レンガブロックをn段積上げる方法の数について考察する。 レンガを2n個使ってn段の柱を作る場合の組合せの数を、 と表す。n段積上げた状態でそれを上からみた形で分類すると、3つのパターンが考えられる。これはあくまでn段の上部だけを考…

レンガを積み上げる問題

昨今の情勢、そして身の回りの諸般の事情から味気ないレンガを眺めながらタバコを吸うことが多くなってきた。 こんな問題を思いついた。一つのレンガブロックの大きさを、 とし、これを次のようにn段積み上げる。 ここでレンガは横長においてもいいし、縦長…

セールスマン勧誘問題とその応用

ある区域でセールスマンが営業活動を開始した。勧誘の結果、成約に至るとその契約した者もセールスマンとして同じように営業を開始する。これを繰り返すことでその区域の加入者数はどんどん増えていく。いわゆるねずみ講の原理である。 このときの加入者数の…

マー君と無重力マッサージ

先日、出張の折に空港のロビーでこんなものを見つけた。 マッサージチェアが2台並んでいて「無重力マッサージ」と書かれた看板がおいてある。1回の時間は15分、料金は300円とのこと。長旅の前だったのでやっておこうかと思ったがあいにく2台とも使用…

3次元空間における回転行列

2次元平面である点を原点を中心に角度θだけ回転させる。 この時の座標の変換は次の行列Rで記述されることはよく知られている。 これを3次元に拡張する。3次元の場合は回転する方向が自由に選べるので回転軸を定義する必要がある。いきなり3次元の話を始…

スカイツリーに向かって

先日、北千住駅から東武伊勢崎線に乗って、東京スカイツリーに向かった。出発したときには電車の進行方向にまっすぐツリーが見えていたのだがやがて電車は大きく左に迂回してツリーは電車の右の窓の方向に移動した。一向に近づているような気がしない。一体…

柿の実定理

今年の柿は不作だった。第一の原因は、夏場に雨天が続いて十分な日照時間が確保できなかったことである。さらに追い打ちをかけたのが台風19号である。熟した実が暴風雨を受けて一夜でたくさん振り落とされてしまった。それでもけなげに耐え抜いてくれたの…

みちのくフィギュアみやげ(補遺)

前回、n種類のフィギュアをランダムにr個購入したときの順列の中でn種類がすべて含まれる順列の数は、 であることを説明した。これのn=2,3,4の場合の具体的な式は、 であり、大変分かりにくい。これを数表として書いてみると、 これを眺めて、何ら…

みちのくフィギュアみやげ(続き)

せんべい汁のフィギュア。鍋の直径は2cmほどである。 7種類のフィギュアをすべて手にいれるまでに必要な回数の期待値を計算する。ここでそれぞれが出てくる確率は1/7で等しいものとする。r回目めにn個が初めてそろう確率ΔPが求められれば、期待回数Eは…