★Beat Angels

前途は遠かった。でもそれはどうでもいい。道こそが人生だからだ。 - Jack Kerouac

星型多角形定理

次のような形をした多角形を星型多角形と呼ぶ。例に示すように星型多角形はすべて奇数角形である。それらの内角の和についてであるが、実は何角形であろうがどんな形であろうが、180°で一定である。

 

三角形を星型と呼ぶのには少し抵抗があるが、このように内角の和が同じく180°であることから仲間にいれてもいいと判断した。

これを説明するためにまずは一般な多角形の内角の和について考えてみる。

  

このようなシンプルな多角形の内角の和については、この図のように三角形に分割して考えることで、


であることが知られている。

それを今回は図形がもう複雑で少し入り組んでいても使える公式をまず導出することから始める。

3角形の場合で角で方向が変わる舵角〇を考えると、舵角〇の合計はちょうど一周分に対応する。

  

同じことは他の多角形にも適用できる。

図形が入り組んだ場合にも同じ手法を取り入れてみると、

  

となる。この図形についての舵角〇の合計の周回数は2となる。このように図形の入り組み具合はこの周回数rで分類することができる。周回数rは0以上の任意の整数である。周回数が0となる場合の例を下図に示す。

  

  

このようなケースでは角度、並びに舵角の定義についても少し説明が必要である。上図の上側の角度の規定は少し違和感があるかもしれないが、内角は常に同じ側で定義されれることによるものである。また、この場合、舵角もマイナスの値となる。

多角形の内角の和は角数nとこの周回数rより一意に計算することができる。舵角〇と内角の和は180°であることから、次の式が成り立つ。

 180°xn= n角形の内角の和 +360°x周回数r

これより、次の定理を得る。

 

これを使って星型多角形の内角の和を計算する。

星型多角形における舵角の周回数は、3角形の場合は1、5角形の場合は2,7角形の場合は3というように、n角形の場合(nー1)/2となることから、

 星型多角形の内角の和=180°x (n-2(n-1)/2)
            = 180°

となり、一定の値であることが示された。