球面上の多角形 - ★Beat Angels

三角形の内角の和は１８０°である。一般的にｎ角形においては(ｎー２)に１８０°を掛けたものになる。これは一般のｎ角形がｎ－２個の三角形に分割できることに対応する。

さて、これは平面上の話であるが、舞台を球面上に移したらどういうことになるだろうか。

ここで一つ注意は球面上における直線というのは点と点を結ぶ最短ルートとなることである。従って、直線を含む平面は球の中心を必ず通る。

ここで内角の和を求めるために必要となる多角形の「面積Ω」を定義する。多角形の面積は半径が１の球の場合の球面上の面積に相当するものとする。単位は角度である。球面全体の面積は４π（パイ）なので７２０°である。

以上の準備の下で、球面上の多角形の内角の和を計算してみると、次の定理が成り立つ。

いくつか例を示す。

この定理と平面の場合の対応関係についてであるが、平面の場合は図形を極限まで縮小した場合に相当する。そうすると図形は扁平となっていき最終的には平面に近づく。つまり、Ω→０の極限をとることに対応する。

次にもっとも単純な球面上の正三角形を考えてみる。

３角はすべて直角である。従って内角の和は２７０°。平面の場合よりも９０°大きくなる。この９０°の正体が３角形の面積Ωである。

Ωを計算してみると、この３角形が球面全体の８分の１を占めることは自明なので、

　Ω＝７２０°÷８
　 =９０°

よって、内角の和は、１８０°＋９０°＝２７０°として計算される。

さきほどの定理の式を眺めてみると、ｎ＝２の場合でも、Ωの値によっては内角の和が存在可能であることが分かる。具体的には下図のように２つの極を考えると、これらの２点間には何通りも直線を引くことができる（いわゆる子午線である）。つまり、平面の場合とは違って、こちらの球面上では２角形が存在可能である。