★Beat Angels

前途は遠かった。でもそれはどうでもいい。道こそが人生だからだ。 - Jack Kerouac

落ち葉のコンチェルト

 

 

 落ち葉のコンチェルト


澄んだ空とモズの声につい誘われて

秋の色にそまる街を歩いてみるの

気まぐれな風とすれ違ったら

おろしたての笑顔であいさつするの

心躍る落ち葉のコンチェルト


木立ち揺らす風の音に耳を澄ませば

遠いあの日聴いた歌が流れてくるの

レンガの小径に落ち葉が一つ

急ぎ足の私の肩にとまる

心躍る落ち葉のコンチェルト

心躍る落ち葉のコンチェルト

 


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星型多角形定理

次のような形をした多角形を星型多角形と呼ぶ。例に示すように星型多角形はすべて奇数角形である。それらの内角の和についてであるが、実は何角形であろうがどんな形であろうが、180°で一定である。

 

三角形を星型と呼ぶのには少し抵抗があるが、このように内角の和が同じく180°であることから仲間にいれてもいいと判断した。

これを説明するためにまずは一般な多角形の内角の和について考えてみる。

  

このようなシンプルな多角形の内角の和については、この図のように三角形に分割して考えることで、


であることが知られている。

それを今回は図形がもう複雑で少し入り組んでいても使える公式をまず導出することから始める。

3角形の場合で角で方向が変わる舵角〇を考えると、舵角〇の合計はちょうど一周分に対応する。

  

同じことは他の多角形にも適用できる。

図形が入り組んだ場合にも同じ手法を取り入れてみると、

  

となる。この図形についての舵角〇の合計の周回数は2となる。このように図形の入り組み具合はこの周回数rで分類することができる。周回数rは0以上の任意の整数である。周回数が0となる場合の例を下図に示す。

  

  

このようなケースでは角度、並びに舵角の定義についても少し説明が必要である。上図の上側の角度の規定は少し違和感があるかもしれないが、内角は常に同じ側で定義されれることによるものである。また、この場合、舵角もマイナスの値となる。

多角形の内角の和は角数nとこの周回数rより一意に計算することができる。舵角〇と内角の和は180°であることから、次の式が成り立つ。

 180°xn= n角形の内角の和 +360°x周回数r

これより、次の定理を得る。

 

これを使って星型多角形の内角の和を計算する。

星型多角形における舵角の周回数は、3角形の場合は1、5角形の場合は2,7角形の場合は3というように、n角形の場合(nー1)/2となることから、

 星型多角形の内角の和=180°x (n-2(n-1)/2)
            = 180°

となり、一定の値であることが示された。

 

球面上の多角形

三角形の内角の和は180°である。一般的にn角形においては(nー2)に180°を掛けたものになる。これは一般のn角形がn-2個の三角形に分割できることに対応する。

     

 

さて、これは平面上の話であるが、舞台を球面上に移したらどういうことになるだろうか。

      

ここで一つ注意は球面上における直線というのは点と点を結ぶ最短ルートとなることである。従って、直線を含む平面は球の中心を必ず通る。

ここで内角の和を求めるために必要となる多角形の「面積Ω」を定義する。多角形の面積は半径が1の球の場合の球面上の面積に相当するものとする。単位は角度である。球面全体の面積は4π(パイ)なので720°である。

以上の準備の下で、球面上の多角形の内角の和を計算してみると、次の定理が成り立つ。

 

いくつか例を示す。

この定理と平面の場合の対応関係についてであるが、平面の場合は図形を極限まで縮小した場合に相当する。そうすると図形は扁平となっていき最終的には平面に近づく。つまり、Ω→0の極限をとることに対応する。

次にもっとも単純な球面上の正三角形を考えてみる。

  

3角はすべて直角である。従って内角の和は270°。平面の場合よりも90°大きくなる。この90°の正体が3角形の面積Ωである。

Ωを計算してみると、この3角形が球面全体の8分の1を占めることは自明なので、

 Ω=720°÷8
    =90°

よって、 内角の和は、180°+90°=270°として計算される。

さきほどの定理の式を眺めてみると、n=2の場合でも、Ωの値によっては内角の和が存在可能であることが分かる。具体的には下図のように2つの極を考えると、これらの2点間には何通りも直線を引くことができる(いわゆる子午線である)。つまり、平面の場合とは違って、こちらの球面上では2角形が存在可能である。

  

この例の場合で内角の和を計算してみる。この2角形が球面全体の4分の1を占めることは自明なので、

 Ω=720°÷4
    =180°

よって、 内角の和は、0+180°=180°として計算される。以上の考察をもとにして定理はさらに拡張され、下記のようになる。

 

辞書

かれこれ40年間近く愛用している辞書。三省堂の英和・和英辞書『GEM』。

  

海外の旅先ではいつでも懐にいて僕を助けてくれた頼もしい友。しかし、そろそろ表紙がぽろぽろとはげ落ち始めた。どこかネクロノミコンを思わせる雰囲気が気に入っているのだが、持ち運びが難しいこともあり、意を決して新調することにした。とっくに絶版かと思いきや、まだそのままの形で生きながらえていた。
 

  

第5版から第7版になっていた。

  

信じられないコンパクトさ。これで3万語。

素敵なモノとの出会いは代えがたき友との出会いに似ている。それが期限付きであり、いつか別れの日が来ることも。この新しい友がこれから40年一緒にいることになるかどうかは誰にもわからない。