夢の中で友人のアパートを訪ねた。そこは階段ばかりが複雑に入り組んだ白亜のアパートだった。同じ風景が無限に続くまるでエッシャーの世界。大勢の住民や訪問者が急ぎ足で行きかう中、どうしても部屋を探し出せないまま疲れ果て、呆然と座り込んだ。
図形の周りを円が廻るときの面積計算方法
塾の講師をしていてこんな小学生の算数の問題に出会いました。
図形を切って並べ替えて、貼り付けて、みたいなことを考えてしまいますが、実は解法は意外にシンプルです。
このやりかたは非常に分かりやすくて計算も簡単になるので魅力的です。でも疑問がわきました。どんな形の図形でもこれと同じやり方で計算できるのでしょうか？
この問題を一般的な形で考えてみます。
まず、ある図形の周りを円が回るということはひとまず棚に上げておいて、円の中心が描く図形に着目してみます。長さＬの閉曲線Ｃを考えます。半径ｒの円の中心がこの閉曲線Ｃ上を一周すると考えます。
すると次のことが予想されます。
予想１：半径ｒの円の中心が長さＬの閉曲線Ｃに沿って一周するとき、円が通る範囲の面積Ｓは、Ｓ＝２ｒＬで求められる。
はたしてこれはどんな閉曲線Ｃについても成り立つのでしょうか？
ここからの議論は少し難しいので小学生の皆さんは一番最後の定理に一足飛びに飛んでかまいません。
いろいろな場合を調べてみると成り立たない場合かあることが分かります。その例は閉曲線が正方形であった場合です。
一辺の長さが４ｃｍの正方形の上を半径１ｃｍの円の中心が動いたとします。すると、円の中心が動く長さは、閉曲線（正方形）の長さである１６。これに直径をかければ３２となります。πがでてきません。これは直観的に考えても角の部分に円が登場しているのにπが出てこないのはおかしいことに気がつきます。計算してみると実際におかしいです。
この例を考えると正方形の角の部分があやしい気がします。なので閉曲線が角を有する場合は成り立たないのではないか、という予想が出てきます。角があることを言い換えると「滑らかな」とか「微分可能な」という言い方になります。これより次のことが予想されます。
予想２：半径ｒの円の中心が長さＬの滑らかな閉曲線Ｃに沿って一周するとき、円が通る範囲の面積Ｓは、Ｓ＝２ｒＬで求められる。
さて、これなら成り立つのではないかと期待しましたが、残念ながらそうではありません。正方形の角に切り欠いた円をいれてみます。これは「滑らか」という条件を満たしています。
その円の曲率半径が動かす円の半径と等しいかそれ以上のときは成り立ちますが、それよりも曲率半径が小さい場合は成り立ちません。
詳しい理由の説明は省略しますが、直観的に次の絵が分かりやすいのではないかと思います。閉曲線が半径Ｒの円の場合です。
このように曲線の曲率半径が小さいと円の通る場所に重複が発生します。それにより、面積の計算が複雑になって答えが正しく求められません。この例は極端ですが、閉曲線上に一点でも曲率半径が小さい場所があるとそこで微小な面積のずれが発生してしまうことになり、式が成り立たなくなります。以上より、次の定理が成り立ちます。
定理：半径ｒの円の中心が、長さＬの滑らかでかつすべての点の曲率半径がｒ以上である閉曲線Ｃに沿って一周するとき、円が通る範囲の面積Ｓは、Ｓ＝２ｒＬで求められる
この定理に基づいて、最初のようなある図形の周りを円が一周した場合に立ち戻ります。まず、分かりやすいところからです。以下、Ｓ＝２ｒＬを便宜的に廻る円の面積公式と呼びます。
定理１：任意の凸閉曲線、凸多角形の周りを円が一周する時、廻る円の面積公式が成り立つ。
凸閉曲線とは、閉曲線の内部の２点を結ぶ線分が必ず閉曲線の内部になるときです。これらについてはその周りを円は滑らかにすべり、曲率半径は十分大きくなり、面積公式が使えます。凸多角形とは、すべての内角が１８０°以下の多角形をいいます。多角形については４角形以上になると凹多角形となる可能性があります。凹多角形とは一つの内角が１８０°以上となる多角形です。
凹多角形については、
定理２：任意の凹多角形では廻る円の面積公式は成り立たない。
円が内角１８０°を超える角を廻る時にかならず、円の中心の動きは滑らかになりません。滑らかでない点においては曲率半径は０であると考える必要があります。ですからどんなに円を小さくしても面積公式は成り立ちません。
そして最後が、凹多角形を除く凹閉曲線の場合です。この場合は曲率半径の大小を考える必要が出てくるのですが、逆に曲率半径を廻る円の立場からとらえると次のような言い方ですべての閉曲線（多角形を含む）を網羅できることに気がつきました。これを総合定理として整理したいと思います。
総合定理：
任意の閉曲線Ｃのすべての点において隙間があくことがなく円が一周できる時、廻る円の面積公式が成り立つ。
具体例で説明します。
(a)凸多角形、(b)凸閉曲線では面積公式が使えます。(c)凹閉曲線でも、全ての点で曲率半径が廻る円の半径よりも大きければ使えます。(e)凹多角形は使えません。(f)それは廻る円の半径をどれだけ小さくしてもだめです。(g)凹閉曲線で、ある点の曲率半径が廻る円の半径より小さければ使えません。しかしこの場合は廻る円が小さければ使える時があります。
さて、最初の三角形の問題に戻ります。小学生の皆さんは自信をもって次の定理を使ってください。
定理：任意の三角形の周りを円が一周する時、円の面積公式が成り立つ。
三角形は必ず凸多角形だからです。四角形以上については凹みがなければ使えます。ついでにもう一つ、便利な定理を教えましょう。
定理：円の面積公式が使える任意の長さＬの図形の周りを半径ｒの円が一周する時、円の中心が動く長さＬ’は、Ｌ’＝Ｌ＋２πｒで求められる。このとき円が動く範囲の面積ＳはＳ＝２ｒ（Ｌ＋２πｒ）で求められる。
三角形ならばＬは３辺の長さの合計、それに半径ｒの円の円周の長さを足したものです。さらにこれに直径をかければ面積になります。これは面白いことにあらゆる形の図形で共通に使えます。
【付録１】円補完による求積方法
廻る円の面積公式が使えないときに実際に円の動く範囲を計算するにはどうしたらいいのか、という問題が残ります。そのために元の図形を一時的に公式が使える図形に補完して考えることができます。その方法を説明します。
例えば次の問題を考えます。
これは凹四角形であり公式は使えません。問題となるのは内角２７０°の角の部分です。
これに対してこの部分を円で補完してあげればこの部分の曲率半径は廻る円と等しくなり公式が使えることになります（図の青線）。
元の四角形の辺の長さの合計LはL＝６４ですが、補完後の円を含む図形の一周の長さLはそれよりも少し短くなり、L＝６０＋πです。これを用いれば、円の中心の描く図形の長さはL'＝Ｌ＋２πｒ＝６０＋５πとなり、求める面積SはS＝２ｒＬ’＝２４０＋２０πとして計算されます。
円補完の考え方を含んだ多角形を含むすべての閉曲線に対する最終的な定理を示します。
定理：長さＬの任意の閉曲線の周りを半径ｒの円が一周する時、円の中心が動く長さＬ’は、Ｌ’＝Ｌ＋２πｒ－ΔLで求められる。ここでΔLは円補完が必要な場合の長さの減少分である。このとき、円が動く範囲の面積ＳはＳ＝２ｒL’＝２ｒ（Ｌ＋２πｒ－ΔＬ）で求められる。
【付録２】図形の内側を円が廻る時の考察
ここまでは円が図形の外側を廻るとしましたが、内側を廻る場合はどうなるでしょうか。こちらも面白そうではありますが、紙面の都合でこれについては宿題とさせてもらいます。
えにっき
■ １９６７年８月１２日（月）はれ
あさおきるとおかあさんから、すずしいうちにしゅくだいをやりなさいといわれました。
えにっきをかこうとおもいましたが、まだ一日がはじまったばかりでなにもしていないのでかくことがありません。
しかたがないので本をよもうかとおとうさんの本だなをさがしました。ぼくの手がとどかないいちばん上のたなをみていたら、ぬりえというなまえの本をみつけました。
だいをつかってそれをとって、本のなかをみました。えがたくさんならんでいました。
ぼくはそれでぬりえをすることにしました。いちばんすきなえをえらんでいろえんぴつできれいにぬりました。
できあがったのでおかあさんにみせました。おかあさんの目はさんかくになりました。
よる、おかあさんとおとうさんはけんかしました。おかあさんがかちました。おとうさんだけつめたいごはんをたべました。
はままつちょう
京浜東北線にゆられる
はままつちょう、たまちしながわ、おおいまち
おおもりかまた、かわさきつるみ
わずか25分間の旅
リズムがどこか心に響いていた
これこそ探し求めた駅名短歌
でも高輪ゲートウェイ駅の登場で
今では失われてしまったリズム
はたして現在、日本にいくつあるのか
駅は全国に９１７９
路線図をたどれば日が暮れる
駅名のリストを作った
ひらがな文字数の分布をみてみる
１文字の駅は「津」だけ
３～５文字の駅が多い
これは５、７をつくるには好都合かも
一番長い駅は松江市の２３文字
「ルイス・Ｃ．ティファニー庭園美術館前」
俳句の長さをゆうに越している
駅のアナウンスに支障はないか
定期を買うとき困らないか
余計なお世話か
この分布から
(A) ５、７の切れ目にあう確率を計算
(B) 短歌、俳句になる確率を計算
(C) 駅数を掛けて大まかな数を計算
上り下りの方向があるから２倍を忘れずに
短歌は全国に５首
地方ごとに１首しかない
俳句は全国に１２０句
各県に２、３句の割合
全国に眠っている歌たち
電車にのんびりと揺られながら
リズムをたどって探す旅には
ほどほどによい数字だ
宝探しのようで
寺田寅彦「電車の混雑について」の数理的再検証－ 混雑の増幅・電車の団子運転・律動の発生をめぐって ―
要旨
本稿では、寺田寅彦の随筆「電車の混雑について」を、現代の数理モデルの観点から再検討する。寺田は約100年前、日常の電車運行を観察し、電車間隔の偶然の乱れが乗客数、停車時間、次の電車の間隔へと連鎖することで、混雑した電車はさらに混雑し、前後の電車が接近して団子状になる現象を論じた。本稿では、乗客到着を確率過程、停車時間を乗客数の関数、電車間隔をその結果として定めるモデルを構築し、寺田の主張を数理的に整理する。さらに、隣接する複数列車を含む線形モデルから、寺田が観察した『律動』を、列車群に生じる波動的・集団的な変動として解釈する。最後に、仮想的な山手線モデルを用いて、時刻表や等間隔制御が混雑・団子運転を抑制する安定化機構として位置づけられることを示す。
参考文献：青空文庫「寺田寅彦『電車の混雑について』」
第1章 寺田の鍵となる主張
1.1 寺田寅彦の観察
寺田寅彦は、電車の混雑を単なる乗客の多寡としてではなく、電車の運行そのものが生み出す動的現象として捉えた。特に重要なのは、電車が完全に等間隔で走ることはなく、偶然の早着・遅着によって間隔が少しずつ変動するという出発点である。
寺田は、神保町付近で実際の電車を観測し、38個の電車間隔を記録した。その値には12秒程度の極端に短い間隔から11分03秒という長い間隔まで大きなばらつきがあり、理想的な等間隔運転から大きく外れることを実測で示した。
1.2 鍵となる主張
文献に登場する寺田の主な主張を以下に列挙する。
① 電車間隔には偶然の早着・遅着による揺らぎがある。
② 電車が遅れると、その電車を待つ乗客が増える。
③ 乗客が増えると停車時間が長くなり、さらに遅れる。
④ 遅れた電車は次の駅でも多くの乗客を受け持つため、遅れが連鎖的に増幅する。
⑤ 一方、後続電車は空いており、停車時間も短くなるので先行電車に追いつく。
⑥ その結果、電車間隔の長短が集団的に現れ、『団子運転』や『律動』が発生する。
⑦ 長い間隔の後には混雑した電車が現れやすく、乗客の待ち時間も不均一になる。
第2章 電車の混雑についての数理モデル
2.1 乗客到着モデル
駅 j における乗客の到着率をλ 、列車 n の電車間隔をHとする。乗客が時間的にランダムに到着すると仮定すれば、平均的な乗客数は電車間隔に比例する。
より厳密には、乗客数をポアソン確率変数として扱い、
と置くことができる。ポアソン分布の性質より平均値は①と同じである。
2.2 停車時間モデル
停車時間には、ドアの開閉など乗客数に依存しない基本時間と、乗降処理に必要な時間があるとする。1人当たりの処理時間を a と置くと、
ここで、
を「混雑フィードバック強度」と呼ぶ。
kが大きいほど、電車間隔の乱れが停車時間を通じて次の間隔へ強く伝わる。
2.3 電車間隔の伝播
駅 j における列車 nの到着・出発間隔は、その列車自身の停車時間と、直前列車の停車時間の差によって変化する。
この式が本稿の議論の中心となる。長い間隔が生じると、その列車は多くの乗客を集めて停車時間が長くなる。その増加分が次の区間の間隔をさらに長くする。一方、直後の列車は短い間隔しか与えられないため乗客が少なく、停車時間が短くなる。
第3章 数理モデルによる寺田の主張の証明
3.1 混雑が自己増幅すること
まず後続列車の影響を一時的に無視した単純化モデルを考える。電車間隔の小さな遅れをδHとすると、1駅進むごとにその影響は概ね次のように増幅される。
したがって、寺田が述べた「混んだ車両はますます混む」という傾向は、正のフィードバックとして説明できる。ただし、この幾何級数的増幅は説明用の単純化であり、実際の列車群を扱う完全なモデルでは後続列車の影響も同時に考慮する必要がある。
3.2 前後の電車を含む線形モデル
平均的な電車間隔 H₀ からの偏差をxとし、乗客到着の偶然性などによる変動を加味すると、線形化されたモデルは次式になる。
第1項は自分自身の間隔偏差、第2項は先行列車との相互作用、第3項はランダムな揺らぎである。これによって、寺田が言葉で記述した「遅れた列車はさらに遅れ、後続列車は追いつく」という現象が一つの方程式に統合される。
3.3 『律動』の発生
次に、列車番号方向と駅方向に広がる波を考え、次の形の解を仮定する。
これを線形モデルに代入すると、波の増幅率は次式を満たす。
さらにその大きさは、
となる。k>0 で q≠0 なら増幅率は1を超え、列車間の不均一な揺らぎが増幅される。このとき、位相をもつ複素増幅率は単なる大きさの増加だけでなく、列車群の中を変動が伝播することも表す。したがって、ランダムな揺らぎを出発点としても、列車間の相互作用によって長い間隔・短い間隔が集団的なパターンを形成し得る。これが寺田のいう『律動』を現代的に解釈する一つの方法である。ただし、現実の鉄道では乗車定員、信号、最小運転間隔、停車時間の非線形性、運転士による調整などが存在する。そのため、上式のような無限増幅には至らず、有限振幅の団子運転や波動的な間隔変動として現れると考えるのが適切である。
3.4 待ち時間の不均一化
電車間隔 H が一定でない場合、乗客がランダムな時刻に駅へ到着すると、平均待ち時間は単純な平均間隔の半分にはならない。
右辺第2項は電車間隔の分散に比例する。したがって平均間隔が同じでも、間隔のばらつきが大きいほど平均待ち時間は長くなる。寺田の観測が示した大きな間隔変動は、乗客にとって単なる「運行の見た目の乱れ」という印象だけではなく、実際に待ち時間の増大という影響を受ける。
第4章 山手線モデルへの拡張と運行ダイヤの位置づけ
4.1 時刻表を持たない仮想山手線
寺田の考察をさらに進めるため、山手線を単純化した仮想モデルを考える。30駅、11編成が環状線を走り、駅間走行時間を100秒、基本停車時間を20秒とする。
すなわち、初期状態では平均約5.45分間隔で11編成が走る。ここで「各編成は時刻表を持たず、駅で待っている乗客が乗り終われば出発する」という仮想的な運行規則を採用する。
4.2 乗客流の設定
駅ごとの旅客需要はJR東日本の駅別利用者数（2024年）を基礎とし、山手線利用割合を10%、そのうち代表的なピーク1時間が1日の2%に相当すると仮定した。この仮定から各駅の到着率を次のように設定する。
これは山手線固有の実測値ではなく、現象の大きさを調べるための代理モデルである。したがって以下の数値は予測値ではなく、モデル実験の結果として読む必要がある。
4.3 モンテカルロ実験の結果
モンテカルロ実験の結果を下表に示す。「団子運転」の定義としては、初期平均間隔の80%未満を『団子運転』と定義した。すなわち、団子運転の判定は下記による。
表に示す通り乗客到着のランダム性だけでも時間の経過とともに団子運転が発生し得ることが示された。代表ケースでは約38分で発生確率が50%程度、約50分で90%を超え、約60分ではほぼ確実となった。
4.4 感度分析
本実験において前提とした各種パラメータに対して団子運転が発生する頻度がどのように影響を受けるかの感度分析を行った。
山手線利用割合を5%にすると、50%発生時刻はおよそ75分へ延びる。10%では約38分、15%では約28分、20%では約22分程度となる。1人当たり処理時間を0.4秒、0.5秒、0.6秒とすると、50%発生時刻はそれぞれ約50分、約38分、約30分となる。
つまり、団子運転の発生しやすさは、単なる列車本数だけでなく、駅ごとの旅客流、乗降処理速度、停車時間と電車間隔の結合の強さに大きく依存する。
4.5 運行ダイヤの数学的位置づけ
この結果から、現在の鉄道システムにおいて当然のように採用されている時刻表や等間隔運転は単に『予定時刻を守るための規則』ではなく、電車間隔の分散を抑えるための安定化制御と考えることができる。遅れた列車をそのまま走らせると、乗客増加→停車時間増加→さらなる遅れという正帰還が働く。これに対して、発車時刻の調整、待避、運転間隔の制御などは、この正帰還を打ち消す負帰還として働くのである。
第5章 まとめ
本稿では、寺田寅彦の『電車の混雑について』を出発点として、電車混雑の発生と増幅を数理モデルによって再構成した。得られた主要な結論は次の通りである。
第一に、電車間隔の小さな偶然の乱れは、乗客到着数の変化を生み、それが停車時間の変化を通じて次の電車間隔へ伝播する。
第二に、この機構は正のフィードバックを形成するため、長い間隔と混雑した列車、短い間隔と空いた列車が互いに強め合い、団子運転が発生し得る。
第三に、複数列車を含むモデルでは、列車間の相互作用によって揺らぎが波として伝播・増幅し、寺田のいう『律動』を集団的なダイナミクスとして解釈できる。
第四に、電車間隔の分散の増加は乗客の平均待ち時間を増加させる。したがって運行ダイヤなどによって等間隔運転とすることは、乗客サービスの観点からも合理的である。
第五に、仮想山手線モデルでは、時刻表を持たず乗客の状況だけで発車する運行方式では、乗客到着のランダム性だけでも時間とともに団子運転が発生し得ることが示された。
さて、本稿で最も注目したいのは、数式そのものよりも寺田寅彦の科学的態度である。寺田は、日常生活の中で誰もが経験している「電車が妙に混んでいる」「なぜか次の電車がすぐ来ない」という現象を問題として取り上げた。そして、印象だけで終わらせず、実際に電車を観察し、時間を測定し、そこから現象の背後にある因果関係を考えた。さらに、その考察を簡潔な数学的モデルへと結びつけた。今日、このような問題は、確率過程、非線形力学系、波動、フィードバック制御、複雑系といった言葉で記述される。しかし、寺田の観察には、その現代的な考え方につながる本質がすでに含まれている。つまり、約100年前、寺田寅彦は電車の混雑を観察することによって、今日『複雑系』と呼ばれる問題の一端をすでに見ていたということである。
日常の何気ない現象を観察し、そこに潜む規則性を発見し、仮説を立て、数学によって検証する。この姿勢こそが科学の原点である。寺田寅彦の「電車の混雑について」は、単なる随筆を越えて、日常から科学を生み出すための優れた実践例であると言えよう。
ワニとウサギの物語
その島から稲羽（いなば）の浜までずらりと並んだワニの列の中で、一番目の若いワニは、遠い浜辺でシロウサギが列の一番最後のワニに皮をはがされるのを悲しそうに見ていました。なぜならその若いワニは知っていたのです。そのウサギが実は神様であり、まもなく現れる命（みこと）に救われること、その命に天啓を与えることを。そしてかわいそうなウサギの姿をみて涙を流しました。そうなのです。彼はウサギにひそかに恋をしていたのです。
それからしばらくしたある日、その若いワニは稲羽の浜辺を泳いでいると、そのウサギが波打ち際に向かって歩いてくるのを見つけました。命のおかけで元通りの可憐な姿に戻っていました。若いワニは心がときめくと同時に不安を覚えて岩陰に隠れました。仲間があれだけひどいことをしたのだからきっと自分たちを恨んでいるに違いないと思ったのです。でも神様のウサギには隠れても無駄なことでした。
「そこにいるのは分かってるのよ」とウサギが声をかけました。若いワニは、ああ見つかってしまった、と観念して岩陰から顔を出しました。ウサギはワニに言いました。「島まで渡りたいんだけど、船になってくれないかしら？」ワニは困って黙っていました。「私の言うことをきかなくてもいいの？」ウサギはワニが自分に恋をしていることをすっかりお見通しです。ワニは尋ねます。「だって、海の途中で僕を毒針で刺すつもりでしょう？」ウサギは驚いたような顔をします。「まさか！あなたが途中で死んだら私だって死ぬでしょう？」ワニは半分観念したように答えます。「はい、分かりました。一緒に渡りましょう」
ウサギを背中に乗せた若いワニが海を渡っていきます。ウサギはちょうど島までの半分くらいまできたとき、毒針で若いワニの背中を刺しました。ワニは海の底へと沈んで行きました。もちろん背中にのったウサギも一緒です。若いワニは沈んでいきながら言いました。「こういう生き方があってもいいかもなあ」ウサギが尋ねます。「それって死に方のこと？」ワニは少し考えてこう言いました。「生き方と死に方ってどこがちがうのかなあ」ウサギは続けます。「わからないわ。でも確かなのはどちらか一方だけでは足りないってことよね」二人はそんなことを話しながら海の底をめざしていきました。
二人の話を耳にした命はたいそう悲しみました。命は二人の最期の様子を尋ねるとウミガメはこう答えました。「いいえ、それが不思議なことにぜんぜん悲しそうではなかったんです。それはそれは楽しそうに、まるで二人仲良く新しい旅にでも出かけるようでした」
虹ノムコウ
雨の放課後。クラスメートたちは下駄箱で傘を開くと歓声をあげて雨の中を駆け出していく。二人だけを残して。その日の降水確率は５０％。傘を持っていないのは僕とマミという女の子の二人だけ。二人は取り残されて玄関先に並んで立ちながら校庭にできた水たまりを見ていた。マミは家が近所だったが遊んだり話をしたりすることはなかった。
校内は誰もいなくなっていて、廊下は薄暗く静まりかえっていた。雨の音が校舎にしみ込んでくる。僕たち二人は何も話さずに立っていた。僕が気まずさからふと女の子の横顔をのぞいてみると、彼女は水たまりにゆれる雨の輪をだまって見つめていたのだが、よくみると頬に涙が伝っていた。赤いランドセルがかすかに震えている。僕はその理由を聞くこともできずに隣でだまっているだけだった。やがて彼女は口を開いた。
―山本さんとこのチコが病気で死んだの
その名は僕も知っていた。チコは飼われていた犬の名前である。僕は何と言っていいのかわからずにいた。女の子もそのまま黙っていた。しばらくして雨は小降りになり、校門の正面にある公民館の上に大きな虹がかかった。
―あ、虹！
二人同時に声を出したかと思うと彼女は虹を追いかけるように校庭を駆けだした。やがてしょんぼりとしてまた戻ってきた。
―やっぱりだめ。虹が途中で切れてる。地面までちゃんと伸びているのを見たことないなあ。いつも探しているんだけど
僕は何か話さなきゃと焦ってこう言った。
―今のはだめだったけど、もしもいつか虹が地面までちゃんとつながっているのを見つけたら、その場所に集まることにしようよ
―集まってどうするの？
―うーん・・・そこは虹が生まれるところでそこにいけば願い事が本当のことになるんだよ
―虹が生まれるってどういうこと？誰かが虹を作ってるの？
―うん！そこには７人の小人がいて虹を作ってるんだ！
今でも僕は虹を見るたびにそれが地面までつながっているかを確かめる。そしてこの小さな約束を今でも思い出す。まだ見つかっていない。願い事はかないにくくできている。
