n個の列に1つを加えてn+1個の列にする。
これは式で表せば、
ということだ。ではnxnの2次元の平面をn+1に拡張する場合はどうなるか。
まず、2つの方向に列を加える。
すると、角に1つ分だけ欠けた部分が登場するのでそこに1つを追加する。
こうしてn+1の平面が完成する。
これは式で表すと、
である。この式を忠実に再現したことになる。
次は3次元立方体の場合である。まずは3つの方向に平面を追加する。
追加した平面と平面の間に列を3ついれる。
ここでも角に1つだけ欠けた部分が登場するのでそこに1つを追加する。
こうしてn+1の大きさの立方体が完成する。
これは式で表すと、
であり、この場合もこの式を再現した形である。最後の「+1」が最後に追加する角の部分の1個に相当する。
さて、問題は4次元の場合である。式を先に書いてみると、
これも3次元までと同じような手順で考えることができるような気がする。しかし、そもそも4次元の超立方体の形はよくわからない。
しかしこの4次元超立方体に追加していくのは、立方体、平面、列、そして角の4種類であり、これらの形は明確にイメージできる。また、追加する個数もそれぞれの個数が4,6,4,1であることも式から明らかである。
この事実を元に4次元超立方体の形のイメージがつかんでみたい。
気になっているのは最後に登場する「角」である。5次元の場合の式は、
であり、ここでも最後の「角」が存在する。一般に、
であるから、全ての次元の超立方体には最後の「角」が存在することになる。この最後の「角」の正体を明らかにしたい。