一般に一辺の長さがｎのｄ次元の立方体は、
で記述される。これを一辺の長さｎ＋１に拡張すると、結果的に
に拡張される。この拡張により立方体の体積は、
だけ増加する。この多項式の順番に従って各要素を追加していくことを考える。この過程で追加される座標は、
で表される。このｄ個の座標をｎ＋１の登場有無に従って２つのグループに分けて、次のように追加操作を記号で表現する。
分母の追加位置Pは、要素を追加する位置を示し、
である。特にｄ＝ｐ、ｍ＝０の場合については、
と記述する。ｄ個の中からｐ個が選ばれる総数は、
なので、すべての追加される要素の体積の総和を計算してみると、
となっている。
以下、１～４次元での拡張の手順を本操作記号を用いて説明する。
■１次元
この場合は「角」が追加されるだけである。
■２次元
１次元の列が二つ、そして角が追加される。
■３次元
３つの平面、３つの列、そして最後に角が追加されて完成する。
■４次元
問題の４次元である。ｘ、ｙ、ｚの３軸にｗ軸が追加される。当然、厳密に表現することは難しいのでｎ＝３の場合のイメージとして示す。まずはスタート地点。ちょっと長くなるが。
まずは立方体を追加するが、ｘ軸方向に追加する場合はこれ。平面がｗ軸方向に重なる。ｙ、ｚ軸の場合も同様である。
ｗ軸方向についてはちょっと異なり、ｗ＝４の場所に立方体が出現する。
これらは違う形に見えるが、４次元の住人からみると等しく立方体である。４つの立方体を追加するとこうなる。
続いて平面を追加する。まずは（ｘ、ｙ）方向に追加した場合。列がｗ軸方向に並ぶ。（ｙ、ｚ）方向、（ｚ、ｘ）方向も同様。
ｗ軸がからむ３つの方向についてはｗ＝４の場所で平面が追加される。下記は（ｗ、ｘ）方向の例。
６つの平面が追加したものが下記。
続いて列を追加する。４つまとめて追加したものが下図。こうして残るは一か所のみとなる。
最後に残った角を追加。
これにて拡張は完了。以上に示した通り、
これがすべての次元で最後に登場する「角」の正体である。
