線形代数を用いてもっと一般的な解法を試みる。1～nについて、
が成り立つとき、
が、a1～anを用いてどう表されるかを考える。
Vを、
というヴァンデルモンド行列とすると、
と表すことができる。これをA1～Anについての連立方程式とみて、その解をクラメルの公式を用いて解けば、Akは、
となる。ここでVkは、行列Vのk列目をベクトルaで置き換えたものである。分母についてはヴァンデルモンド行列の行列式として、
であることが知られている。分子については、余因子展開により、
となるので（各項の符号は省略）、
となる。これを用いてan+1を計算すると、
となる。±はnの偶奇性による。
ここまでは一般論だが、今回の問題である、
の場合を考える。Crの分子でxrが登場する項のみを計算すると、
である。xrをxn+1に置き換えて計算すると、
これより、Crを計算すると、
となり、前回の結論と同じ、
が得られ、a1～anが整数であればan+1が整数であること、従ってすべてのnに対してanが整数であることが証明された。
風呂場で湯舟につかって、壁のタイルをぼんやり眺めたときに考えたことである。
隣り合う縦線で任意の格子点を選んでみる。
この２点を通る直線をひく。
縦線に沿って眺めてみると直線はすべての縦線で格子点の上を通過する。
最初にどんな２点を選んでもそれは成り立つ。直線だから当たり前であろう。曲線だとそうはいかないだろう、と考えた。
今度は並んだ３点を選ぶ。そして、その３点を通る放物線を考える。
同じように縦線を眺めてみると、
直線と同じように、やっぱりすべての縦線上で格子点を通過する。単なる偶然かと思って幾通りの場合で試してみたがやはり結果は同じで、必ず格子点を通過する。さらに、４点の場合（３次曲線）でやってみたが方程式は複雑になるもののこれも同じくもれなく格子点を通過する。
こうして次の定理が予想される。
定理１：
ｎ個の整数（a1～an）が与えられたとき、
となる(n-1)次の多項式が一意に定まる。
定理２：
この多項式はすべてのn（1～n以外も含む）について整数である。
この定理が正しいとするとその範囲はかなり広い。例えば、100個の点を指定して得られるnの99次多項式について、n=10,000を代入したらそれは整数となる、ということである。
とすれば、
と表せる。この行列Vはヴァンデルモンド行列と呼ばれているもので、今回のようなケースでは行列式が０でないことが分かっている。よって、行列Vには逆行列が存在し、
と表せる。これによって定理１が証明された。
定理２については、1～nについて、
が整数であるときに、
が整数となることが示されれば、すべてのnについて整数となることが証明される（数学的帰納法による）。具体的には、
となる関数ｆを求めて、それが任意のaに対して整数値をとることを証明すればいい。
以下、その計算を行う。ここでは(1-x)の２項展開式を活用する。
において、x=1を代入すると、
が得られる。以下、①～③の手順を繰り返す。
①両辺にxを掛ける。
②xで微分する。
③x=1を代入する。
結果として、下記の恒等式群が得られる。
となる。これをkの値で並べて行列表現する。
となるCを用いて、最後の項を左辺に移項すると、
と表わされる。ここでヴァンデルモンド行列Vが再び登場している。
左辺は明らかにan+1に他ならない。右辺については、
であるから、下記の式が得られる。
anは条件よりすべて整数である。また、係数もすべて整数であるので、an+1は整数となることが示された。以上によって定理２が証明された。
昨年の夏休みはまとまった休暇がとれた上にこれといってすることもなかったので、かねてからやってみたいと思っていたチャレンジを断行した。それはYahoo知恵袋である。
チャレンジとはこれにひたすら回答しまくる、というものである。
朝から晩まで時間が許す限り、並んだ質問に対して片っ端から回答をし続ける。主なジャンルは「教養と学問、サイエンス」。数学・物理・工学はそれなりの回答のボリュームが必要となるが回答者は限られている。一般教養とか英語などは即座に答えられるものが多い一方で回答者の競争率は高い。
数学の分野は中学から大学まで区分があり、中学では２次関数とか図形の問題が多い。高校、大学と進むに従ってテキストで回答するのがだんだん難しくなってくる。大学の複素解析などでは積分記号の扱いに苦心した。
いくつも回答するに従って多くの人がつまづきやすいところがなんとなく見えてくる。たとえば中学の数学ならば、ある２次方程式の二つの解がある値よりも大きくなる条件を求めるというのがもっとも頻発した問題である。この種の問題だけで３０個ほど回答した。
一週間ほどこれに没頭した結果、回答者ランキングで２位まで上り詰めることができた。私の回答数は３１０個となっているがこれは過去１週間の回答数である。一日平均で４５個ほどである。
その時の１位の方の回答数は約５００．まだ２００個近い開きがあった。これはどうしても追い抜くことはできないことを実感してチャレンジは終了した。５００個といえば、一日平均７０個。真面目に回答するならば寝食を忘れないと達成できないレベルである。本日のランキングをみたら、１，０００を超える人がいて驚いた。
回答数だけを競うならば、いい加減な回答とか、誰かの回答のコピペなどで数だけを稼ぐことは可能に思えるが、回答の内容をある程度吟味して不正を摘出するプログラムが織り込まれている。さらに上位に食い込むにはベストアンサー率という質問者からの評価も反映される。私の場合は、ベストアンサー率５０％をキープすることができた。
ランキングは最近の１週間分で行われるのでチャレンジをやめた一週間後、私の名前は完全に消え失せた。かなりの苦行なのでもう２度とやりたくないと思うものの、一瞬でもいいから１位を獲得してみたいという野望はまだ完全には消えていない。
日本エレベーター協会から、エスカレーターの利用方法についてのお願いが出されている。片側を歩いて上るのは止めて2列とも歩かないでほしい、というものである。
www.n-elekyo.or.jp
確かに駅ではこういうポスターを見かけることが多くなってきた。
しかし、これまでの習慣から歩いて上る側（関東ならば右側）に歩かずに乗るというのは相当に勇気が必要である。実際にやってみると背後からの殺気を禁じ得ない。テレビのインタビューなどでは、歩かないことで渋滞が発生して全体が遅くなってしまうのではないか、という不安を語る利用客もいた。
さて、本稿ではエスカレータを歩く場合や止まる場合で時間や速度にどのように差があるを考察してみる。
エレベータの一列だけをとってその乗り方（歩行モード）を考えるとまず①から④の４つが浮かぶ。①は普通に止まって乗る場合で、この時は普通１段隙間をあけて２段に一人の割合で並ぶ。②は普通に歩いて乗る場合で、この時は一人は歩幅２段分を占有するのだが、前後の人で歩調が合ってないので足がぶつからない様にさらに１段が追加され、結果的に一人は３段分を使用してしまう。③は①を改善して隙間の段がないようにした場合である。④も同じように②を改善して隙間をなくすアイディアだが、これは全員で掛け声をかけない限り不可能である、というよりもむしろ危険なのであくまで参考としておく。
移動速度は止まる場合はエスカレータの速度そのものである。歩いて上る場合のエスカレータ基準での速度をエスカレータの速度と等しいとする。つまり、エスカレータの速度をｖとすると、歩いて上る人の移動速度は２ｖとなる。実際にその程度に設計されているように見受けられる。
エスカレータの乗り方を評価しようとするとまず利用する自分に着目した速度に目が行きがちである。当然、誰もいない状態で一人だけ利用するならば好きなだけ急いで走ればいい。しかし、混雑時などはどれだけの人が同時に利用できるかという観点も必要である。
ここではこのような混雑時を想定して、単位時間あたりにどれだけ多くの人を輸送できるか、という点に着目した指標である輸送力を用いる。この輸送力は速度と収容力の両方に比例する。すなわち、
上記にあげた４つの歩行モードについてこれらを①を基準に相対的に評価したのが次の表である。
②の歩く場合は、確かに速度は２倍であるがぶつかるリスクの回避のために無駄が生じて収容力が低下してしまう。それでも輸送力は歩く場合よりは１．３倍ほど高い。
実際の２列構成のエスカレーターについてはこれらの歩行モードの組み合わせとなる。組み合わせた場合の輸送力を次の表に示す。
今回の日本エレベーター協会からのお願いは、赤字で示した部分である。片側を歩くことをやめたとすると、全体としての輸送力の低下は表の値に示すように１５%程度に過ぎない。さらに収容力については次の表に示すように、
むしろ２０％程度向上することができる。これはエレベーターに乗るまでに待たされる時間が短縮されるという意味である。以上より、日本エレベーター教会からのお願いについては、他への悪影響も少ない上に収容率の点で有効なのでぜひ協力してあげたいと思う。
しかし、最も効果があるのは③の場合、つまり隙間なく詰めて止まって乗る、という方法である。２列ともこれに変えられれば、輸送力で１．７倍、収容力で２．４倍という絶大な効果がある。目の前の人がリュックを背負っていなければ早速明日から試してみていただきたい。
かなり前にレポートした謎の喫茶店。
最近、訪れてみたが、看板がなくなっていた。
いつからなのかは不明だが、無期限休業中であった。
一度も足を踏み入れないままとなってしまった。残念なことである。いつの日か、営業再開されることを期待する。そして入ろうか、入るまいかまた懊悩、逡巡させてもらいたい。
その通りの角に差し掛かったとたん、都会の喧騒が突然鳴りを潜めた。
白昼の死角。歩くと靴の音だけがこだまする。
さて、ここは渋谷区桜丘町。
渋谷駅の駅前のすぐそばの一等地である。
すぐ隣にはＪＲ渋谷駅のホームもある。
ここが渋谷駅前の再開発でまもなく町全体が姿を消そうとしている。
店先には移転、そして閉店を知らせる貼り紙が並んでいる。
そして懐かしいこの店。
すべてがこの店から始まった。今それも終わりを告げようとしている。
そして、今でも記憶の片隅で拍手が鳴りやまない。
