アリとキリギリス（解説編）

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アリはゴムの上を歩き始めた。

キリギリスの策略によってゴムは次々に引き延ばされ角砂糖はみるみると遠ざかっていく。１時間も経過すると角砂糖は100m先まで遠ざかりとうとう見えなくなった。その後も200m、300mとさらに距離は遠ざかっていく。

しかし、出発10時間を過ぎて距離が400mを超えた頃から少し様子が変わってきた。角砂糖の遠ざかる速度が少しずつだが鈍ってきたのである。

そして12時間を回ったときのことだった。ゴムはすでに4.5kmの長さにまで伸びていて、角砂糖までの距離は約450mだったが、これが反転して短くなり始めたのである。アリは希望を手に歩き続けた。




そして出発から34時間後、とうとう角砂糖に到達した。そのときゴムは12kmを超えて伸びきっていた。アリはこの12kmを歩き通して見事に偉業を達成したのである。

キリギリスは次回はもっと頻繁にゴムを伸ばそうと企んでいるが、どんなに頻度を上げてもアリは有限回で角砂糖に到達する。もちろん、寿命や体力の問題を考えなければ、である。

今回の場合、ゴムを元の長さに戻したときにアリがどれだけ進んでいるかを考えるとそれは次の級数の形となる。

　

これが発散することがその理由となる。

このL(n)が10まで到達したときのnがまさに角砂糖に到達するときである。このｎを概数で求めると、

　
これがグラフで示したように時間にして34時間、距離にして12kmに相当する。キリギリスは次回はゴムを伸ばす頻度を２倍（５秒周期）にしようと考えている。その場合は、L(n)を20まで到達させることになるので、その時のnを概数で求めると、

　

となる。アリが角砂糖に到達するまで時間にして約３６年、距離にして２７万km、つまり地球を７周近くまで回る必要がある。

ちなみにさらに頻度を２倍（2.5秒周期）にしたらどうなるか（L(n)=40）。

　

となる。これは、104億年、つまり宇宙の年齢に匹敵する時間である。距離にして40万光年、つまり銀河系の外までゴムは伸びている。

いずれにしても、計算上は有限時間、有限距離で到達できることに間違いはない。

King of the Rock'n Roll！

Rock'n Roll! Rock'n Roll! Rock'n Roll!
今夜もKing of the Rock'n Roll! 
クール気取りの恋なら笑い飛ばせ

Rock'n Roll! Rock'n Roll! Rock'n Roll!
誰もがKing of the Rock'n Roll! 
ルールだらけの世界を洗い流せ

６時のベル街に響いたら
汚れたシャツすぐに脱ぎ捨てて
Gateway 駆け出すのさ
あの場所で世界が僕を待つ気分

Gloomy Boy 心を開いて
ためいき顔は似合わない

Rock'n Roll! Rock'n Roll! Rock'n Roll!
今夜もKing of the Rock'n Roll! 
クール気取りの恋なら笑い飛ばせ

Rock'n Roll! Rock'n Roll! Rock'n Roll!
誰もがKing of the Rock'n Roll! 
ルールだらけの世界を洗い流せ

傷つくたび見えることがある
自由でいて切ない夜もある
Starry Night 分け合うのさ
この腕に世界を抱きしめる気分

Day by Day 変わっていくけど
覚める夢ならほしくない

Rock'n Roll! Rock'n Roll! Rock'n Roll!
今夜もKing of the Rock'n Roll! 
レールに乗せた恋なら止められない

Rock'n Roll! Rock'n Roll! Rock'n Roll!
誰もがKing of the Rock'n Roll! 
ルールだらけの世界を洗い流せ

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パスカルの変則３角形

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前回、パスカルの変則3角形の話をしたがその続きである。

これまで、
 
 

などが見事に0になることを示したが、こうなると次は、

 

など、(－n)乗の場合がどうなるかが気になるところである。次の関数σ(n,m)について調べてみることにする。

 

まず、最も簡単なm=1の場合について考える。

　

次の2項展開式を用いて、

　

x=0～1の区間で積分することで、

　

というすっきりした結果が得られる。これに気をよくして両辺をxで割ってx=0～1の範囲で積分するという操作を繰り返せば、次々にm=2,3…の場合も計算できるか、と考えたがそうやすやすとは問屋が卸さなかった。結構面倒な計算の結果、m=2の場合は、

　

であることが求められた。m=3の場合についてはさらに苦しい計算の結果、

　

となった。ｍ＝２の場合に対して、ｍ＝３の場合は、総和が２重形式となる。ここまでくると、一般のmについても次の式が予想される。

　

式上はシンプルに見えるが、実は多重型の連分数計算である。具体的に、n=1,2,3の場合で書き出してみると、

 

ｍの値によって分数の深さが決まる。このように複雑怪奇であり、ｎ=４の場合などは書いてみようとする気が起きない。下に示した定義の式そのままの方がはるかにシンプルである。

σ(n,m)のわかりやすい一般項を求めることは断念し、漸化式を導くことにした。上記の連分数を注意深く見ると下記が成立していることがわかる。

ここで便宜的に、

とした。

この漸化式の存在はEXCELなどを用いて具体的な数値計算を行う際に非常に有効である。n,mが10程度まで計算した結果をグラフで示す。

 　

σは、nが固定値の場合、mが大きくなるに従って急速に1に収束する。また、mが固定値の場合、nが増えるに従ってゆっくりと０に収束する。では、ｎ,mが同時に増えるような場合は、ｎ、ｍいずれに軍配が上がるのか。

σ(n,m)の最初の２項を書き出すと、 

　

となるが、この第２項である、 

　

の大きさがこの力関係を示している。ｍは２の指数部にあるので絶対的に強力である。ｎ、ｍが微妙な力関係になるのは、 

　

の場合である。グラフを見ると、m=10では、n=1～10程度ではほぼ1に固定のように見えるが、nが1,000程度まで増えれば、1から値は落ち始めると予想される。m=100の場合では、nが10の30乗くらいまで増えないとそうならない。

さて、普通のパスカルの３角形の場合だとどうなるか。ｍ=1,2の場合だと、

　

となり、２のべき乗の項が登場する。一般のｍについては、おそらく、上の計算結果と同様にして、
　

　

となると推測される。おそらく漸化式も同じになるに違いない。しかし、これはｎの値の増加に伴って発散するので面白みに欠ける。変則３角形は、交互に符号が反転することで発散が絶妙に抑え込まれ、シンプルで美しい規則性が得られるのである。

アリとキリギリス

長さ1mの無限大まで伸縮自在のゴムがある。ゴムの片端は地面に固定されていて、そこに一匹のアリがいる。ゴムのもう一方の端には角砂糖が置いてある。アリは角砂糖を求めてゴムの上を歩いていく。蟻の歩く速度は秒速1cm。何もなければアリは100秒で角砂糖にありつける。しかし、角砂糖のある場所には意地悪なキリギリスがいる。

　

さて、蟻はゴムの上を進みはじめた。10秒経過してアリは10cm進んだ。その瞬間キリギリスは意地悪をしてゴムの片端を1m伸ばした。ゴムは1mから2mに伸びた。アリはそれに気づかずに同じ速度で進んでいく。また10秒経過した。キリギリスはまた意地悪をしてゴムをさらに1m伸ばした。ゴムは3ｍまで伸びた。それから次の10秒後、そしてその後も同じことが延々と繰り返された。アリからみて角砂糖はどんどん遠ざかっていくように見える。それでもアリは角砂糖に向かって一心不乱に進んでいった。

　

そしてとうとうアリは角砂糖にありつくことができた。アリは速度を上げたわけではない。キリギリスが根負けしたわけでもない。キリギリスは計算が違ったと悔しがった。そして、次回は作戦を変更してもっと頻繁に５秒周期でゴムを伸ばしてやろう、と悪だくみをしている。

ガシャポンの動作原理

ガシャポンの動作原理を解明したいと思った。

　　

ガシャポンは電源が不要ですべてメカだけで動作する。動力源はすべてつまみを廻す人の力だけである。

解明には自分で組み立ててみるのが一番てっとり早いだろうということで、キットを入手した。小１時間かけて完成。

　

　

ちゃんとカプセルもついている。

　

注意書きなどにも決して手を抜いておらず、細部までリアルに再現されている。

　

勿論、つまみを回すとちゃんとカプセルが出てくる。

　

これで理解したガシャポンの動作原理を説明する。

まず100円硬貨を投入するとつまみが１周だけ回せるようになる構造となっている。つまみを回すとシャフトとカムによって垂直な回転が水平な回転に変換され、本体内部のターンテーブルが水平に回転する。ターンテーブルにはカプセルを落とす穴がありそこから落ちたカプセルが一つだけ落ちてくるのである。またケース内にはバネ製の羽根が何本か設置されている。これはつまみ操作で回転しない構造となっているので、つまみを回すと同時にこれによりカプセルがシャッフルされて射幸心を煽る仕組みとなっている。

さて、このガシャポンキットがどういう素性のものかというと、

　

これの付録であった。よってカプセル以外はすべて紙製である。

　

格子点をくぐり抜けて（補遺）

今回の格子点の解析とは話題は少し離れるが、解析の途上で気がついたことがある。こちらの方がむしろ新鮮な驚きがあったのでここに補遺として記しておく。

下図はおなじみのパスカルの３角形である。一般項を合わせて示す。 

　

今回、解析の途上でこの３角形の変則型が登場した。それは列の並びで交互に正負の符号を反転させたものである。

　

まずこれを軽く眺めると、横一列の項を足し算すると「０」になることはすぐにわかる。しかし実はそれだけではない。 

 　

このｎ組の恒等式群がすべて成り立つ。これらはまとめると、i=0～(ｎー１)の任意の整数に対して、 　

　

今回発見したのはこれに関する次の定理である。

(ｎー１)次の多項式は一般に、　

  

と書かれる。分かりにくいので具体例として２次多項式の場合で示す。

    

この２次多項式において任意のa1～a3の値に対して、

　

が、不思議なことに必ず成立するのである。

ぜひ、係数a1～a3に適当な数をいれてみて試していただきたい。係数a1～a3は一般の実数であり、分数や小数、無理数だった場合でも成り立つ（実は複素数でも成り立つ）。また、a3=0等の場合、つまり２次式ではなくて１次式だった場合でも成り立つ。これにより定理は、「(ｎ－１)次以下の任意の多項式」と書き換えることができる。

この定理の一般的な証明は意外なことにシンプルである。多項式の展開式を代入して総和の順序を入れ替えて、前述のｎ組の恒等式を使うだけである。
　

パスカルの変則３角形の自由度はこれだけでは終わらない。これまで、P(ｎ)の開始は当たり前のようにｎ＝１、つまりP(１)としてきたが、実はそれに限定されない。

　

は、任意のi=0～(ｎ-1）について成り立つ恒等式だが、さらに任意の整数ｍに対して、

　

という自由度がある。

　

などは、例えば、

　
   

などもすべて成り立つ。この性質によって、2次多項式の例では、

　

を満足していたが、この自由度によってお隣の、

　

は勿論のこととして、　

　

などもすべて成り立つ。しかもすべての２次多項式に対してである。

今回の定理は少し形を整えると次のようになる。

　

となる。この定理を用いると、パスカルの３角形の両端が”１”であることを利用して、前稿までの格子点の定理を簡単に証明できる。

パスカルの反則３角形には「懐の深さ」のようなパワーを感じる。このパワーの根源はどこから来るのだろうか。今回、多項式解析で偶然見つけたものを報告したが、恐らくこれだけでなく他にも素晴らしい秘密が潜んでいると予想する。

怪しい博物館

  とうとうこの地に足を踏み入れた。

たくさんのことを学んだような気もするが、同時に忘れたような気もする。

たくさんのものに触れたような気もするが、同時に封印したような気もする。

たくさんのものを見たような気もするが、同時に目をつぶったような気もする。

たくさんのものに立ち向かったような気もするが、同時に逃げ出したような気もする。

たくさんのものを感じたような気もするが、同時に失ったような気もする。

たくさんのものに囲まれたような気もするが、同時に追い出されたような気もする。

たくさんのものが生起したような気もするが、同時に消滅したような気もする。

たくさんのことが始まっている気がするが、同時に終わっている気もする。

たくさんのものが開かれようとする気がするが、同時に閉じ込められた気もする。

たくさんのものが目覚めようとしている気がするが、同時に眠りについたような気もする。

沢山のものを得たような気もするが、同時に捨て去ったような気もする。