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君がすべきことはただ一つ、ニューヨークへ行くことだ -ジャック・ケルアック

あらためて10進法のことを考える

 ある数の全桁の総和が3で割り切れるときその数は3で割り切れる。例えば、561については、5+6+1=12、これが3で割り切れるので、561は3で割り切れる。これは9の場合でも成り立つ。これは10進法特有の非常に便利な公式である。もしも人間の指が6本ずつだったならば12進法の世の中だったかもしれない、という説もある。12という数字は約数の数が多いので計算上有利という話もある。また角度や時間についてはかつてから60進法が使われてきた。60も12の倍数であり同じ系列と考えることができるだろう。

 さて10進法以外が採用された場合、10進法での3, 9で割り切れるかどうかの公式(約数公式)はどのように変わるだろうか。こうした公式は多いほど便利なはずである。この約数公式の数は一般にN進法の場合はどうなるであろうか。10進法については3と9以外でも下一桁目が偶数ならば2で割り切れるとか、0か5ならば5で割り切れるなどの公式もあるがここでは3と9の場合のように全桁の総和から判断する公式のみを対象とする。

 N進法の場合の約数公式の数をN=5~100について求めた結果を下表に示す。この公式の数には自明で共通の”1”については除外している。 

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 評価点数については公式数が多いほどいいことは明らかであるが、Nが大きくなった場合の数字の数が増える煩雑さを割り引く必要があるので下記とした。

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 表中では得点20点以上をマーキングしてある。Nが増えるにしたがって大きい公式数も現れてくるが評価式の分母の効果により評価点数は低くなっていく。

 これより順位表を作ると次のようになる。

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 12進法、60進法は残念ながら公式数が1と最低でありランク外となる。12進法ならば13進法の方が優れている。もしも現在の10進法から変更するときがあるならばこれをお薦めする。但し、偶数奇数が下一桁目だけをみても判断できない(全桁足さないといけない)、というのは奇数進法の大きな欠点でもある。そういう意味で偶数進法だけに着目すると、最上位に位置するのが他でもない10進法である。人類の選択にはきちんと理論的裏付けがあり間違っていなかったということを示している。

 こうしてみると~100進法の範囲では公式の数は高々11個であるがもっとたくさん公式を持つ進法は存在するのか?という疑問がわいてくるが、答えはYesである。どんな公式の数に対してもそれをもつN進法のNは存在する。例えば、公式数:100を持つのは、45,361進法、公式数:1,000を持つのは6,469,693,231進法である(注:これらの数字は、すべてきちんと計算に基づいている)。

 45,361進法においては、例えば、全桁の数を足した数字が「945」で割り切れればその数は「945」で割り切れる。「945」と括弧でくくっているのは「945を示す数字」、という意味である。45,361進法の世界においてはこういう「945」のような都合のいい数字が100個も存在するのである。さて、果たしてその世界が便利で幸せなのかどうかは定かでない。