★Beat Angels

ディーンは路上放浪には打ってつけの男だ。というのも彼は実際に路上で生まれたからだ。

ノブヒコと喫煙所での密かな愉しみ

ノブヒコの会社はいくつものテナントが入るビルの中にあり、そのビルの1階には共通の喫煙所があった。ノブヒコが仕事をさぼってタバコを吸っているといつものように彼女が現れる。

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制服を着た彼女は男たちの目線を避けるようにして部屋の隅まで進むとメンソール系のタバコに火をつけた。ノブヒコはそこで彼女に会うことが密かな愉しみとなっていて、毎日何回彼女と顔を合わせるかを手帳に記録していた。それを見るとほぼ3回の喫煙に1回の割合で出会うことが分かった。ノブヒコは一日に10本程度タバコを吸うので、平均して毎日3回程度は顔を合わせるのであった。多い日は5回、少ない日は1回のときもあったが、ここ数ヶ月の間一度も顔を合わせない日はなかった。

ところがある日のことである。ノブヒコはその日喫煙所に合計10回行ったのだが彼女を一度も見かけなかった。ノブヒコはひょっとしたら彼女は風邪でも引いて会社を休んでいるのではと心配になった。そして、彼女が会社を休んでいる確率を計算してみようと思い立った。

ノブヒコはすぐさまベイズ理論に基づいて分析を開始した。
 

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  C:彼女がその日休みである事象(原因)
  R:喫煙所でN回会わない事象(結果)

求めるP(C/R)は、喫煙所でN回会わなかったときに、その日彼女が休みである確率である。今回のケースではP(R/C)は、 

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となる。これは彼女がその日休みならばいくら待っても喫煙所で彼女に会うことはできないという事実に対応している。P(R)は会わない回数がNのとき彼女が休みをとる確率P(C)を用いて、

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と表されるので、求めるP(C/R)は、

 

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となる。右辺に出てくるP(C)は彼女が休みを取る平均的な確率のことであり、それを条件として入力しないと求める確率が出てこない。しかし、彼女が休みを取る確率はまたに求めようとしているものに他ならないように感じてしまう。しかし実は求めようとしている確率は平均的な休みの確率ではなく、まさしく「その日」に休んでいる確率である。ベイズ理論によると前者が事前確率、求めるべき後者が事後確率、と呼ばれているが、それで多少はニュアンスが伝わるに違いない。

平均的な休みの確率P(C)については他の会社の社員である彼女の情報を入手することは難しい。そこで一般的な例として0.3%から33%の間のいくつかのパターンで計算してみた結果を下図に示す。

 

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1回目だけでは、彼女がその日休んでいるかはまだ不確定なので、その確率は平均確率(事前確率)に等しいところからスタートする。会わない回数が増えていくに従って、彼女がその日休みである確率(つまり事後確率)は増加していく。増加の仕方は平均確率の大きさによって異なり、平均確率が比較的高い時(10%)は急激にその日の休みの確率は増加していき10回あたりで90%を超えてその日の休みが判断できるのに対して、平均確率が低い時(1%)では増加は緩慢で20回近くまで続かないと確証が得られない。

ノブヒコは、手帳の記録から彼女がここ50日間は出勤を続けていたことを知っていた。それで平均確率は1~2%程度であろうと推測した。よってこの解析結果から今日彼女が休みである確率は50%程度、つまりなんともいえない、と判断した。もう少しこの確率が高ければこの分析結果を彼女に披露してお近づきになろうと目論んでいたのだがそれは果たせずに終わった。それはノブヒコにとっても彼女にとっても幸いなことであった。