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君がすべきことはただ一つ、ニューヨークへ行くことだ -ジャック・ケルアック

類数列

 数学の話題でと言えば、Wikipediaによると、

▮類(クラス)

集合論及びその応用としての数学におけるクラスまたは類(るい、英: class)は、集合(または、しばしば別の数学的対象)の集まりで、それに属する全ての元が共通にもつ性質によって紛れなく定義されるものである。「クラス」の正確な定義は、議論の基礎となる文脈に依存する。 

 

 などであるがここでいう『類』とは吉田類のことである。

 

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www.bs-tbs.co.jp

 

 '17年8月の時点で彼が廻った居酒屋の数は793にものぼる。その再放送を見ながらそれを録画しているのだが、私の観ているチャンネルでは過去の番組をランダムに選んで再放送しているのですべての番組を順番にきちんと録画できているわけではない。録画を始めた頃は快調に録画数が増えていったのだが次第にすでに録画済の同じ番組を繰り返し録画することが多くなってきた。特に半数の約300を超えたあたりから録画数はやや頭打ちの閉塞状態に陥っている。

 いったいいつになったら全部録画できるのかという疑問、言い換えれば不安であるが、それがこの解析の出発点となった。

 

 番組の総数が3つの場合で説明する。再放送はこの3つの番組からランダムに選ばれて放送されるものとする。このランダム性によっていろいろなケースが登場する。まずは最短でライブラリが完成するケースは、

 

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 である。次のように、多少の重複があって完成するケースもある。

 

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 次のようにいつまでたっても終わらないケースもある。

 

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 全体の番組数をN、再放送数をn、それに対応したライブラリ数の期待値Y(n)とする。再放送数nに対するライブラリ数Y(n)の期待値は数列として与えられるが、イメージをつかみやすいように曲線としてあらわしたのが次の図である。

  

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 当然のことであるが1回目の再放送は重複する可能性がないので、すべてのNについて、 

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 が成り立つ。nが増えるにしたがってY(n)も単調に増加してNに向かって収束していくがY(n)自体がNに近づくにつれて重複発生の確率が高くなりその傾きは次第に鈍化していく。この様子をY(n)の漸化式で表すと、 

 

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 となる。これを整理すると、

 

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 となり、等比数列に似た形となる。ここで、 

 

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 となるV(n)(未整備のライブラリ数)を定義すると、

 

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 というきれいな等比数列となる。さらに未整備のライブラリ数のNに対する割合V%(n)を定義すると、 

 

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 というシンプルな式が得られる。これを用いて吉田類のケース(N=793)で数値計算を行う。ライブラリが99%まで整備されるまでに必要となるnの値を計算してみると、n=3,649回が得られる。一日1回再放送があったとしてちょうど10年かかる計算である。なるほど道は遠いはずである。

 

 さてここまでは番組総数Nが決まっている場合を考えてきたが、番組数も増えていく中で(例えば1回/週)、再放送もランダムに同じペース(例えば1回/週)で行われた場合を考えるとどうなるであろうか。

 

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 これは上述の式の中で、 

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 とした場合に他ならない。この場合においては、一度重複が発生してしまうとそれは取り返しがつかないロスとなる。なぜならば上の図において白いの数は単調に増加していくからである。よってライブラリの整備率は100%ではないある確率に収束することが予想される。これを計算してみると、
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 この式は未整備率を示しているので、整備率としては約63.2%に収束することになる。意表をついてこんなところにオイラー定数:eが登場した。居酒屋世界の深遠なる超越性を示しているとでも言えるだろうか。