先日、出張の折に空港のロビーでこんなものを見つけた。
マッサージチェアが２台並んでいて「無重力マッサージ」と書かれた看板がおいてある。１回の時間は１５分、料金は３００円とのこと。長旅の前だったのでやっておこうかと思ったがあいにく２台とも使用中であった。二人がいつ始めたのかはわからない。最大１５分待てば絶対に空くのはわかるのだが。二人が始めた時間がランダムだとして私は平均どれだけ待てばいい計算になるだろうか。
もしもマシンが１台だけならば、待ち時間は０分から１５分までばらつくはずなので平均待ち時間は１５分の半分の７．５分になるのはわかる。それが２台になるとどうなるかという問題である。
考えているうちに５分ほど経過したところで片方のマシンが終了して止まった。すかさず乗り込んで硬貨を投入するとマシンは音もたてずに動き出した。両足、両腕が包み込むように固定される。すぐに背中から心地よい振動が伝わってきた。やがてマシン全体の姿勢があおむけになるように傾いて無重力状態となった。１５分という時間はマッサージとして短すぎると思ったのだが、肩、背中は勿論、足、足裏、腕を同時にマッサージするのでなかなか効率がいい。私は夢見心地になりながらさきほどの続きを考え始めた。
待ち時間については一般の場合を考慮して次の関数を定義する。
待ち時間については下図のような絵で考える。
本図で上部が私が待ち始めた時間を示し、マシンはこの円上を私に向かって進んできて到着した時点がマシンが終了したことを表す。一周はマシン１回分の時間を示している。今回の場合だと１５分ということになるが計算を簡略化するためにこれを単位時間：１とする。１５分の場合ならば結果を１５倍すればいい。
このようにまずマシンが１台の場合の待ち時間の平均値は、さきほどの表記方法を用いて、
となる。つまり半分の７．５分である。次にマシンが２台の今回の場合である。
マシンに１，２という番号を付けているが本図ではマシン１が先に終わる場合を示しているが当然、逆の場合もありうる。この場合の待ち時間を計算すると、
となる。２倍しているのが２台の中でどちらが早いかの通りに対応している。結果は３分の１、つまり５分となる。さてここではマシン２台だったが、一般にｎ台の場合についても計算してみると、
が得られる。ｎが増えるに従って待ち時間は０に近づいていく。分母はマシンの台数＋１である。この＋１は邪魔でわかりにくい。この正体はなんなのだろう。
さてそうこう考えているうちにもう一方のマシンも終了した。気づかないうちに次に使いたい人たちが並んで待っていた。若い男女の二人連れだった。しかし一方が空いたのに乗ろうとしない。男性の方はマー君と呼ばれていたが、どうやらこの２人は２台で同時に始めたいので両方が空くまで待っているようだった。やがて私の方も１５分が経過して終了し、二人は念願かなって２台のマシンに乗り込み仲良く並んで同時に動き出した。
マー君たちのやり方だと２台終わるまで待つ必要があるがこの時、平均待ち時間はどうなるだろう。私の場合は５分だったが当然それよりも長いことは確かだろう。それを計算してみると、
結果は３分の２、つまり１０分と私の２倍必要なことが分かった。マー君のやり方をさらに拡張して、ｎ台のマシンでｎ人のグループが全台が終了するまで待つときの平均待ち時間は、
となる。マシンが増えるに従って単位時間１、つまり１５分にどんどん近づいていく。
さらに一般の場合を考える。稼働中のマシンがｎ台で、その中でｍ台が終了するまで待つ場合である。
この場合の平均待ち時間の計算式は、
となる。積分の前の項の意味は、
である。まず、積分項である、
の計算が必要となる。部分積分をひたすら繰り返してもいいのだが、ここでは被積分関数が２項定理に似た形をしていることに着目して、次の２項展開を利用する。ここで係数αを導入している。
左辺を積分すると、
と、αのｎ次多項式となる。同様に右辺は、
となる。αの係数を比較することで、
が得られ、これを用いて平均待ち時間は、
という大変シンプルな式で表されることが分かった。
この式は直感的にどう理解すればいいだろうか。
そもそも本問題で登場するタイミングを考えてみると、マシンｎ台のｎ個は勿論であるが、それに加えて今回の私やマー君のように利用客のタイミングが存在し、待ち時間はこれらｎ＋１のランダムなタイミングの相互関係で決定される。
平均値についてはこれらｎ＋１のタイミングが最も均等に分散した場合の待ち時間時間であると考えられる。つまりｎ＋１個が下図のこのように等間隔に並んだ場合と等しいと考えることができるのである。
つまり分母に登場して邪魔だとばかり思っていた「＋１」の正体は他ならぬ私自身であった。
