前回までマリオの描く軌道の方程式として、
が得られた。この２次形式で表された曲線の形状を決めるのは次の行列式Δである。
マリオの軌道は、Δ＝０の場合は放物線あるいは直線であり、Δ≠0の場合は円または楕円となる。それぞれの場合で具体的な軌道を計算する。
①Δ＝０の場合：放物線（直線を含む）
この場合の速度の条件は、
である。この場合、マリオは東京、リオを通る直線上で単振動する。振幅は初速度に依存する。
特に、
の場合は、マリオが東京・リオ間の直線の土管に初速度０で入る場合であり、この時マリオは東京・リオを両端とする単振動となる。
②Δ≠０の場合：円または楕円
軌道がきれいな円となるのは、
の場合である。
ここで、初速度Vy0がRω以外の場合は楕円となる。例を以下に示す。
上で述べた以外の条件では軌道は傾いた楕円となる。
特に、
が成り立つ場合は直線ｘ＝ｙに対して対称な傾きが45°の楕円となる。この場合の例として、
の場合の軌道を下図に示す。
