前回は①東京・リオ間に直線の土管を掘った場合、②地表すれすれを脱出速度ギリギリでマリオを発射した場合の２つのケースでその運動と到達時間を計算したが、今回はそれをさらに一般化してみる。
このようにある中心から距離に比例する力Fが中心に向かって働く空間を考える。
ここに半径Rの地球を仮想的に置く。この力は中心からどこまでの距離においても、つまり仮想的な地球の外でも働くものとする。
また、マリオはこの場の中で地球内部でも自由に運動できるものとする。まずは自由な空間での運動を解析して、その後でその軌道に合わせた土管を掘る、という順番で考える。
上図のように円の上端を東京、下端をリオとして、マリオを東京から任意の方向、速度で発射する。この時のマリオがたどる運動を解析してリオに到達できる速度の条件を求める。
まず、マリオの運動方程式は、
である。ここで、
とおけば、
と書ける。これを解けば、
となる。ro、voはマリオの初期条件である。特に今回は、発射位置として、
であるので、
これより、マリオは発射条件によらず周期２π/ωの周期運動をすること、つまり再び東京に戻ってくることがわかる。
また、
が成り立つので、どんな発射条件だったとしてもマリオは必ずリオに到達する。そしてリオ到達時のマリオの速度は、東京の発射時と同じ速さで向きが反対である。また、リオまでの到着時間は、
でありこれも初期条件によらないことがわかる。続いてマリオの描く軌道を考える。
前述のｘ、ｙの式において、
として、ωtを消去すると、マリオの描く曲線の方程式として
が得られる。
次回はこの曲線の方程式に基づいてマリオが描く軌道について考える。
