前回、ｎ種類のフィギュアをランダムにｒ個購入したときの順列の中でｎ種類がすべて含まれる順列の数は、
であることを説明した。これのｎ＝２，３，４の場合の具体的な式は、
であり、大変分かりにくい。これを数表として書いてみると、
これを眺めて、何らかの法則を導き出すのが本稿の目的である。
まず、定義から次の①が予想される。
分母はｎ種類をｒ回購入したときの順列の総数なのでこれはｒ個購入したときにｎ個がすべて揃う確率を表している。それが１に収束するということは、ｒがｎを超えて大きくなればいつかはｎ個が揃うのは時間の問題である、ということを示している。これを数学的に証明すると、
となる。また、ｎ、ｒが１の場合については、直接計算すると次の公式群が成り立つ。
ここまではあまり面白くないが、特徴的なのは次の公式である。
前者は数表の右上半分が０であることに対応し、後者は斜めの数、1,2,6,24,・・・がｎ！になっていることに対応する。
これらは直感的に理解しやすい。前者はｎ種類そろえるのにｎより小さいｒ回では揃うはずがないことを表している。後者はｒとｎが等しい場合であり、このときｎ種類が１個ずつきれいに選ばれる。となると求める数列はｎ個の単純な並べかえの順列に等しい、ということである。
数学的に導くには次のような解析的な方法がある。
という２項級数の式に対して、①ｘで微分する、②ｘ＝１を代入する、③両辺にｘを掛ける。という操作を繰り返す。
そして、一般的に、
が得られる。
後者の延長で「ではｒがｎ＋１の場合はどうなるか？」という疑問がわく。この場合は、
という何とも言えない式となる。ｎ＋２以降はさらに複雑化して書き下せない。
S(ｎ,ｒ)については漸化式として次が成立する。
この式の直観的な説明は次のようになる。ｒ回目をひいてｎ種類揃っているということからその１回前はどうだったということを考えると、すでにｎ種類揃っていたか、あと一種類足りなかったかのどちらかである。ｎ回目はｎ通りあるのでこの式が成り立つ。
数表の上で見てみると、どこでもいいので左右で隣り合う２つの数字を足し合わせる。それをｎ倍化したものが、右側の数字の下の数字に等しい。この漸化式は数表を作っていく上で非常に重要である。
以上が基本的な性質となるが、他にはどのようなものがあるか。
計算の支障となっているのはSの式の複雑さである。そこでSに変わって次のS’を導入する。
これを用いると、数表は次のようになる。
この表を眺めながら規則を探してみる。例えば横一列をすべて足すと０になることはすぐに気が付く。同様にして他の法則を探し続けた。その結果、次のような公式群を発見した。⑧以降はもともとの問題の枠をはみ出してｒが０や負の数の場合も扱っている。
これらは計算上は成り立つのだが、みちのくフィギュアみやげの問題にどのように絡んでくるかは不明である。
前回記事でｎ個そろえるのに必要な回数の期待値E(n)を計算してそれが、
であることを示したが、今回の結論を使うと、
と書き表せる。ｒがー１と負数なのがポイントである。これがはたして偶然なのか、なんらかの意味を持つのかについては今後の宿題とする。
以下、ｒが０や負数とした場合も含めた数表（S、S’）を参考付録として示す。
