０から１までの実数を２進法で表記する。
この小数点以下の桁数と数に対応して、２等辺直角３角形を細分化していく。
桁数を進めるに従って経路は複雑化し、３角形内を塗りつぶすように進んでいく。こうして長さ１の線分上の点は、３角形内のどこかの点に対応していくことになる。
ｙｚ平面をｚ軸を虚数軸とする複素平面と考える。2進法表示の桁数をｎとすると、3角形をｎ回２等分したときの頂点の座標は、次式で与えられる。
ここで、Anは、
である。ここでＥの各項、
を具体的に計算してみると、ｎの奇数、偶数で場合分けされて、
となり、いずれの場合も実数部、虚数部ともに有理数であることがわかる。Ｅを求めるときに、級数の和が有限回で終了すればＥは有理数であることが保証される。
Ｆが有理数であるときは、２進法表記でも循環部が現れる。有理数を２進法で表したときの一般的な形式は、
である。
今回の問題は偶数・奇数で挙動が分かれるので便宜的に、
循環部を2ｐの幅とみなし、偶奇性の影響を抑えて計算を容易化する。こうすることでによってＥの各項については循環の規則に従って、
が常に成り立つ。本当はこの２が邪魔なのだが、２を削除するとｐが奇数の時に成り立たず、場合分けがややこしいのでこうしている。
この式を用いて、Eの無限級数を計算してみると、
と簡略化される。ここで、
を用いた。こうしてＦが有理数の場合には、Ｅの級数計算が有限回で終了することが分かる。前に示したように各項は実数部、虚数部ともに有理数であるので、その有限回の加算結果も同じく有理数となる。
こうして、３次元ピンボールにおいても、２次元の場合と同様に格子点の穴に入る確率は０であることが証明された。
と言いたいところだが、点Fが無理数の場合にそれが有理数の点Eに写像されないことを証明しないといけない。逆に言えば、有理数の点Eに対応する点Fがすべて有理数となることである。確かに点Fが無理数の場合、点Eの計算は無限となるが、無限となるだけでそれが無理数であることの証明にはならないからである。
