★Beat Angels

"Don't use the phone, People are never ready to answer it. Use Poetry." - Jack Kerouac

我が心のピンボール(その3)

格子状に無限に広がる穴に向かって、球を打ち出す。

 f:id:taamori1229:20190422180520p:plain

ここまで、次の定理が成り立つことを証明した。

ピンボール定理

球、穴の大きさが両方とも0の場合、球の打ち出される傾きの値が、

  (1) 有理数の場合、球はどこかで穴の中に落ちる。

  (2) 無理数の場合、球は永久に穴に落ちない。

  (3) 傾きの値を実数のランダム値として、球を打つことを繰り返した場合の穴に落ちる確率は0である。

 
この考察の過程で次の予想が得られた。

ピンボール予想

球の大きさが0、穴の大きさが0でない場合、穴の大きさがどんなに小さくても、またどんな方向に球を打ち出しても、球は必ず穴の中に落ちる。これは傾きの値が無理数の場合も含めて成り立つ。


これについて考える。


傾きが無理数の場合の例として、

f:id:taamori1229:20190425172603p:plain

を取り上げてグラフを書いてみる。

 f:id:taamori1229:20190425172648p:plain

穴との距離を赤線で示している。この長さは、

 f:id:taamori1229:20190425172740p:plain

に対応する。実際に値の列を眺めてみると0~1の間でランダムな値をとるように見える。そして、一度登場した値は現れることがなさそうである。このことは次のように説明される。もしも同じ値が2回現れたと仮定すると、小数をとる前の数の差が整数となってしまう。これが√2が無理数であることと矛盾してしまうからである。

さて、今回の予想はこのようにδ(n)が0~1の間でランダムに存在するであろうことを利用する。

まず、0~1の間をN等分する。

f:id:taamori1229:20190425173550p:plain

次のN+1個の数列を考える。


 f:id:taamori1229:20190425173614p:plain

これらは上図のN等分された区画に入るが、最低でも2つの項はどこか一つの区画に一緒に入る。これは例えば、6人を乗せたエレベータで先階ボタンが5つ押されているときに、どこかの階で二人が一緒に降りるはず、といういわゆる鳩の巣原理である。こうして選ばれた二つを下記とする。

 f:id:taamori1229:20190426150428p:plain

こうして選ばれた2つの差は当然、1/N以下である。また、前述のとおり決して等しくはならない。大小関係で2つに分類して調べる。

f:id:taamori1229:20190426145057p:plain

 この場合、
 f:id:taamori1229:20190425173705p:plain

 なので、

 f:id:taamori1229:20190425173727p:plain
 となる。穴の半径をRが与えらえれたときに、それがどんなに小さくても、十分大きいNをとることで、

 f:id:taamori1229:20190425173752p:plain

 とすることができる。ここで、上記と同じ手順を経ることで得られたi, jに対して、

 f:id:taamori1229:20190425173814p:plain
 となるmを用いれば、

 f:id:taamori1229:20190425173838p:plain
 となり、球は穴の中に落ちることが示された。この場合は、穴の中心よりも上側の部分に落ちることになる。


f:id:taamori1229:20190426145601p:plain

 こちらの場合は逆に穴の中心から下側の部分に落ちる場合である。途中の計算は省略するが、

 f:id:taamori1229:20190425173912p:plain

 が得られ、やはり球は穴の中に落ちる。