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針金と折り紙と風と(その2)

 

taamori1229.hatenablog.com

という問題の1次元の場合(針金)の証明である。まず問題を数学的にモデル化する。針金上の点を0~1の実数に対応させる。

 

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針金上の任意の点Aに対応する折り曲げた針金上の点を点Bとする。さらに点Bから最初の針金におろした垂線の足の点を点Cとする。この時、点Cの座標はxの関数であるf(x)で表現されるものとする。

ここで折り曲げた針金は元の針金の範囲を逸脱しないものとする。つまり、

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ということである。さて、今回の問題は、この条件の下で針金を切断することなく自由に曲げた時(数学でいう連続、に相当する)、どんな曲げ方をしても、

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となるx0が少なくとも一つ存在するという問題となる。

これの証明であるが、

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という関数F(x)を導入するとわかりやすい。今回の問題はF(x)について、

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となるx0が少なくとも一つ存在することと同じになる。

針金の両端(x=0,1)についてFの値を求めてみると、

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となり符号(プラス、マイナス)が異なる。これをグラフで表すと下図のようになる。

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 f(x)が連続であると仮定したのでF(x)も連続となる。連続なのでこの両端の点の間で必ず1回はF(x)=0の線分のどこかで交わることになる。下世話な言い方をすると必ずどこかですれ違う、ということである。その点の一つをx0とすると、

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つまり、

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が成り立つことが証明される。2次元の場合もほぼ同様の論法で証明可能である。それはまた次回とする。