読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

★Beat Angels

君がすべきことはただ一つ、ニューヨークへ行くことだ -ジャック・ケルアック

令嬢の数理

 前回に引き続き今回は、

  f:id:taamori1229:20170225160810p:plain

 について考察する。一般的に、

  f:id:taamori1229:20170225161100p:plain 

 が成り立つとされているので、両式に単純にx=0を代入してしまうと、双方矛盾する結果となる。答えは果たして0なのか1なのか、はたまたどちらでもない別な数なのか。実は2つの"0"が"0"に到達するまでの経路によっていろいろな値となり一意に値は定まらない、というのが正解である。但し、ここでは、

 f:id:taamori1229:20170225161314p:plain

という関数を定義して、

 f:id:taamori1229:20170225161521p:plain

 という極限の値として求めることとする。ここで+0とはxが正の値を保ちながら0に近づくことを意味する。この式は、 

 f:id:taamori1229:20170225161641p:plain

 と変形できて、

 f:id:taamori1229:20170225161714p:plain

 という近似が成り立つことを利用すると、

 f:id:taamori1229:20170225161740p:plain

となり、最終的に1に収束することが分かる。これをMicrosift Mathを用いて確認してみると、

 

f:id:taamori1229:20170225161841p:plain

 

 xが大きな値からx=1までに向かっていくときは順調に値は減少していって0に向かっているように思える。しかし、xが1よりも小さくなると極小値を通って増加に転じて最終的に1となる。上図においてマーカで示している極小値を示しているが、このxは、x=1/e(約0.37)である。

 さらにxが0の近傍での挙動は上に述べた式から~1-x、である。Microsfot Mathでx=0近傍を詳細に分析してみると、

 

f:id:taamori1229:20170225162541p:plain

 

 確かにx=0の近傍では、ほぼy=1-xという直線で近似できることが分かる。

さて、0^0に近づくルートは上記で示したもの意外にも数限りなくある。その中からここでは、次の3つを考える。

 f:id:taamori1229:20170225162846p:plain

 後者2つについては複素解析の力を借りる必要がある。結果だけ示すと、

 f:id:taamori1229:20170225163655p:plain

 となりすべてx→0で1に収束する。但し、そこへの接近の仕方は各々異なる。複素平面上でx=1の近傍で収束に向けた挙動を示すと下図のようになる。

 

f:id:taamori1229:20170225215202p:plain