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★Beat Angels

君がすべきことはただ一つ、ニューヨークへ行くことだ -ジャック・ケルアック

有楽町で逢いましょう

  •  晴れた日曜日、僕は彼女を呼び出して有楽町駅で待ち合わせした。そして上野の動物園に向かうことにした。駅のホームに出るとちょうど京浜東北線の電車が到着したので、僕たちは迷うことなくそれに乗り込んだ。やがて電車が出発して走り始めたちょうどそのとき反対側のホームに山手線内回りの電車が京浜東北線の電車を追いかけるようにして滑り込んでくるのが見えた。

 

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ー並行して走る区間だとどちらに乗ってもいいというのは便利ね。

ー両方とも12分間隔で到着するとして早く到着したほうに乗るとした場合、平均の待ち時間はどのくらいになると思う?

ー電車が2つあるから1/2の6分でしょう。

ー違う。もしも山手線だけに乗ると決めたとしよう。その場合でも待ち時間は0分から12分でばらつくから平均すると6分になる。どちらに乗ってもいいとするとそれよりも短くなるはずだよ。

ーじゃあ、それのまた半分、つまり12分の1/4の3分じゃないかな。

ーそれもまた違う。両方がちょうど6分ずれて到着するとしたら待ち時間は0から6分の間でばらつくから3分。だけどそんなちょうどずれるとは限らないからそれよりも大きいはず。だから3分と6分の間のどれかになるよ。

ーじゃあ、1/3の4分だ。

ーうん。正解。なんでそうなるか説明するね。

 

 今回の例では山手線/京浜東北線の2本であるが、N本あった場合に一般化して取り扱う。N本の電車の周期は全て等しくτであるとする。

周期0~τの時間内の一点tに最初の電車が到着するということは、それ以外の電車((N-1)本)の到着がt~τの間に入ることになる。従って時刻tからの単位時間に最初の電車が到着する確率P(t)は、

P(t) = (最初の電車が時刻tに到着する確率) × (残りの(N-1)本がt~τの間に到着する確率)

であり、具合的には、

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となる。従って待ち時間の平均値Tは、 

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 という積分で計算される。計算においては途中で部分積分を使用するが省略する。結果は、

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ーN本の電車が併走した場合、平均待ち時間は(N+1)分の1になるんだ。だから山手線の場合はNは2だから、3分の一になるんだよ。この「+1」というのがちょっと気持ち悪いけどね。

ーあれ、知らないの?それを植木算ていうのよ。

ーさあ、上野に到着。さっそくパンダに会いに行きましょう!